Giải tích Ví dụ

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

Bước 1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

Bước 1.4

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Bước 1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Bước 2

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 3.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Bước 3.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Bước 3.1.4

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 3.1.5

Viết lại $4 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Bước 3.1.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $2$ với $4$ .

$\int - \frac{1}{8 \sin (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

Bước 3.2.2

Kết hợp $\cos (t)$ và $\frac{1}{8 \sin (t) \cos (t)}$ .

$\int - \frac{\cos (t)}{8 \sin (t) \cos (t)} d t$

Bước 3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int - \frac{\cos (t)}{8 \sin (t) \cos (t)} d t$

Bước 3.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\int - \frac{1}{8 \sin (t)} d t$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{8 \sin (t)} d t$

Bước 5

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

Bước 6

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (t)}$ sang $\csc (t)$ .

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

Bước 7

Tích phân của $\csc (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Bước 8

Rút gọn.

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$