Giải tích Ví dụ

$\frac{2 x + 3}{x^{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{2 x + 3}{x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{x^{2}} d x$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (2 x + 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x + 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int (2 x + 3) x^{- 2} d x$

Bước 5

Nhân $(2 x + 3) x^{- 2}$ .

$\int 2 x \cdot x^{- 2} + 3 x^{- 2} d x$

Bước 6

Nhân $x$ với $x^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển $x^{- 2}$ .

$\int 2 (x^{- 2} x) + 3 x^{- 2} d x$

Bước 6.2

Nhân $x^{- 2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 2 (x^{- 2} x^{1}) + 3 x^{- 2} d x$

Bước 6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 2 x^{- 2 + 1} + 3 x^{- 2} d x$

Bước 6.3

Cộng $- 2$ và $1$ .

$\int 2 x^{- 1} + 3 x^{- 2} d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Bước 8

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Bước 9

Tích phân của $x^{- 1}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int 3 x^{- 2} d x$

Bước 10

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

$2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

Bước 12.2.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x}$ .

$2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

Bước 12.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$