Giải tích Ví dụ

$\int 5 x^{3} - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 5 x^{3} d x + \int - \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Bước 2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int x^{3} d x + \int - \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Bước 5

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Bước 6.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Bước 7

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Bước 9

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Bước 9.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Bước 9.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Bước 9.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Bước 9.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}) + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C$

Bước 11.2.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2 \cdot 2} + C$

Bước 11.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{4} + C$

Bước 11.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{5}{4} x^{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + C$