Giải tích Ví dụ

$(x - 1) \sqrt{x}$

Bước 1

Viết $(x - 1) \sqrt{x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int (x - 1) \sqrt{x} d x$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 5

Khai triển $(x - 1) x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 5.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 5.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 5.6

Cộng $2$ và $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$