Giải tích Ví dụ

$\int (x^{3} + x) \sqrt{x^{4} + 2 x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{4} + 2 x^{2}$ . Sau đó $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{4} + 2 x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{4} + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 2 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x^{3} + 4 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6.2.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4} + 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{6} {(x^{4} + 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$