Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$

Bước 1

Viết $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{3}{4} x^{2} d x + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{3}{4} x^{2} d x + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

Bước 6

Vì $\frac{3}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{3}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} \int x^{2} d x + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

Bước 8

Vì $- \frac{4}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{4}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \frac{4}{5} \int x^{3} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4}{5} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{x^{4}}{4} + C$

Bước 10.2.2

Nhân $\frac{x^{4}}{4}$ với $\frac{4}{5}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{4} \cdot 4}{4 \cdot 5} + C$

Bước 10.2.3

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{4} \cdot 4}{20} + C$

Bước 10.2.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 \cdot x^{4}}{20} + C$

Bước 10.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 (x^{4})}{20} + C$

Bước 10.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 x^{4}}{4 \cdot 5} + C$

Bước 10.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 x^{4}}{4 \cdot 5} + C$

Bước 10.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{4}}{5} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{5} x^{4} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{5} x^{4} + C$