Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = \arctan (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ , nên $- d u = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = \arctan (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Bước 2.1.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Bước 2.1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \arctan (x)$ .

$u_{lower} = \arctan (0)$

Bước 2.3

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \arctan (x)$ .

$u_{upper} = \arctan (1)$

Bước 2.5

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} u d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Bước 4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{u^{2}}{2}$ tại $\frac{π}{4}$ và tại $0$ .

$2 ((\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Bước 5.2.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - 0)$

Bước 5.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} + 0)$

Bước 5.2.4

Cộng $\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$ và $0$ .

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

Bước 6.1.2

Viết lại biểu thức.

${(\frac{π}{4})}^{2}$

Bước 6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{4^{2}}$

Bước 6.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{π^{2}}{16}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π^{2}}{16}$

Dạng thập phân:

$0.61685027 \dots$