Giải tích Ví dụ

$y = \arctan (\frac{x}{2})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (\frac{x}{2}))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.2.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

Bước 3.2.4

Nhân $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ với $1$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

Bước 3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Bước 3.3.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Bước 3.3.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

Bước 3.3.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{2}}{4}$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

Bước 3.3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

Bước 3.3.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Bước 3.3.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Bước 3.3.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

Bước 3.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2}$

Bước 3.3.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 3.3.5.2

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Bước 3.3.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Bước 3.3.5.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 4}{2}}$

Bước 3.3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$1 \frac{2}{x^{2} + 4}$

Bước 3.3.7

Nhân $\frac{2}{x^{2} + 4}$ với $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + 4}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{2}{x^{2} + 4}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$