Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} \cos (x) d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{1} x^{2} \cos (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = \cos (x)$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \sin (x) (2 x) d x)$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \sin (x) (x) d x))$

Bước 4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \sin (x) (x) d x)$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (x)$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \cos (x) d x))$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \cos (x) d x))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \cos (x) d x))$

Bước 7.2

Nhân $\int_{0}^{1} \cos (x) d x$ với $1$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \cos (x) d x))$

Bước 8

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x))]_{0}^{1} + \sin (x)]_{0}^{1}))$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $x (- \cos (x))]_{0}^{1}$ và $\sin (x)]_{0}^{1}$ .

$2 (x^{2} \sin (x)]_{0}^{1} - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{1}))$

Bước 9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tính $x^{2} \sin (x)$ tại $1$ và tại $0$ .

$2 ((1^{2} \sin (1)) - 0^{2} \sin (0) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{1}))$

Bước 9.2.2

Tính $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ tại $1$ và tại $0$ .

$2 ((1^{2} \sin (1)) - 0^{2} \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Bước 9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 (1 \sin (1) - 0^{2} \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Bước 9.2.3.2

Nhân $\sin (1)$ với $1$ .

$2 (\sin (1) - 0^{2} \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Bước 9.2.3.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 (\sin (1) - 0 \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Bước 9.2.3.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 (\sin (1) + 0 \sin (0) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Bước 9.2.3.5

Nhân $0$ với $\sin (0)$ .

$2 (\sin (1) + 0 - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Bước 9.2.3.6

Cộng $\sin (1)$ và $0$ .

$2 (\sin (1) - 2 ((1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Bước 9.2.3.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))))$

Bước 9.2.3.8

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - (0 \cos (0) + \sin (0))))$

Bước 9.2.3.9

Nhân $0$ với $\cos (0)$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - (0 + \sin (0))))$

Bước 9.2.3.10

Cộng $0$ và $\sin (0)$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - \sin (0)))$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) - 0))$

Bước 9.3.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1) + 0))$

Bước 9.3.3

Cộng $- \cos (1) + \sin (1)$ và $0$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- \cos (1) + \sin (1)))$

Bước 9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Tính $\cos (1)$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- 1 \cdot 0.5403023 + \sin (1)))$

Bước 9.4.2

Nhân $- 1$ với $0.5403023$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- 0.5403023 + \sin (1)))$

Bước 9.4.3

Tính $\sin (1)$ .

$2 (\sin (1) - 2 (- 0.5403023 + 0.84147098))$

Bước 9.4.4

Cộng $- 0.5403023$ và $0.84147098$ .

$2 (\sin (1) - 2 \cdot 0.30116867)$

Bước 9.4.5

Nhân $- 2$ với $0.30116867$ .

$2 (\sin (1) - 0.60233735)$

Bước 9.4.6

Tính $\sin (1)$ .

$2 (0.84147098 - 0.60233735)$

Bước 9.4.7

Trừ $0.60233735$ khỏi $0.84147098$ .

$2 \cdot 0.23913362$

Bước 9.4.8

Nhân $2$ với $0.23913362$ .

$0.47826725$