Giải tích Ví dụ

$\int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} - 2 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Bước 1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$- 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = \csc (x)$ . Sau đó $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , nên $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = \csc (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Bước 2.1.3

Sắp xếp lại các thừa số của $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (- \frac{π}{2})$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{3 π}{2})$

Bước 2.3.2

Áp dụng góc quy chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosecant âm trong góc phần tư thứ tư.

$u_{lower} = - \csc (\frac{π}{2})$

Bước 2.3.3

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Bước 2.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (- \frac{π}{4})$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{7 π}{4})$

Bước 2.5.2

$u_{upper} = - \csc (\frac{π}{4})$

Bước 2.5.3

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{4})$ là $\sqrt{2}$ .

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - 1 u d u$

Bước 3

Viết lại $- 1 u$ ở dạng $- u$ .

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - u d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- 2 (- \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u)$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{u^{2}}{2}$ tại $- \sqrt{2}$ và tại $- 1$ .

$2 ((\frac{{(- \sqrt{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sqrt{2}$ .

$2 (\frac{{(- (\sqrt{2}))}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- (\sqrt{2})$ .

$2 (\frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (\frac{1 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{1}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.4.5

Tính số mũ.

$2 (\frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.5

Nhân $2$ với $1$ .

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.6.2

Viết lại biểu thức.

$2 (1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Bước 8.2.7

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (1 - \frac{1}{2})$

Bước 8.2.8

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Bước 8.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

Bước 8.2.10

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Bước 8.2.11

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2}$

Bước 8.2.12

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2}$

Bước 8.2.12.2

Viết lại biểu thức.

$1$