Giải tích Ví dụ

$\cos (2 x + 3 y^{3}) = 3 y^{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\cos (2 x + 3 y^{3})) = \frac{d}{d x} (3 y^{2})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x + 3 y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x + 3 y^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x + 3 y^{3}]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x + 3 y^{3}]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x + 3 y^{3}$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) \frac{d}{d x} [2 x + 3 y^{3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3 y^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Bước 2.2.5

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 y^{3}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 2.4

Nhân $3$ với $3$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Bước 2.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y')$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 y^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$6 (y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$6 y y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y') = 6 y y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Rút gọn $- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y')$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Viết lại.

$0 + 0 - \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y') = 6 y y'$

Bước 5.1.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y') = 6 y y'$

Bước 5.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) \cdot 2 - \sin (2 x + 3 y^{3}) (9 y^{2} y') = 6 y y'$

Bước 5.1.1.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - \sin (2 x + 3 y^{3}) (9 y^{2} y') = 6 y y'$

Bước 5.1.1.4.2

Nhân $9$ với $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 \sin (2 x + 3 y^{3}) (y^{2} y') = 6 y y'$

Bước 5.1.1.4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 \sin (2 x + 3 y^{3}) (y^{2} y')$ .

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) = 6 y y'$

Bước 5.2

Trừ $6 y y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) - 6 y y' = 0$

Bước 5.3

Cộng $2 \sin (2 x + 3 y^{3})$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) - 6 y y' = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Bước 5.4

Đưa $3 y y'$ ra ngoài $- 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) - 6 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $3 y y'$ ra ngoài $- 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3})$ .

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 6 y y' = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Bước 5.4.2

Đưa $3 y y'$ ra ngoài $- 6 y y'$ .

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) + 3 y y' \cdot - 2 = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Bước 5.4.3

Đưa $3 y y'$ ra ngoài $3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) + 3 y y' \cdot - 2$ .

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2) = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2) = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$ cho $3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2) = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$ cho $3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)$ .

$\frac{3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Bước 5.5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Bước 5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Bước 5.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Bước 5.5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Bước 5.5.2.3.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 2)}$

Bước 5.5.3.2

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 1 (2))}$

Bước 5.5.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2))}$

Bước 5.5.3.4

Viết lại các số âm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.4.1

Viết lại $- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)$ ở dạng $- 1 (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 1 (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2))}$

Bước 5.5.3.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{(3 y) (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$

Bước 5.5.3.4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{(3 y) (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$ .

$y' = - \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$