Giải tích Ví dụ

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{1}{y^{2} + x^{2}}$ ở dạng ${(y^{2} + x^{2})}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(y^{2} + x^{2})}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = y^{2} + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y^{2} + x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y^{2} + x^{2}$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Bước 3.2

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Bước 3.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y (- 2 {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 2 \frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

Bước 4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ .

$y (\frac{- 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

Bước 4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y (- \frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

Bước 4.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ .

$y (- \frac{x \cdot 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

Bước 4.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$y (- \frac{2 \cdot x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

Bước 4.2.5

Kết hợp $y$ và $\frac{2 x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{y (2 x)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Bước 4.2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$- \frac{2 y x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$