Giải tích Ví dụ

$\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

Bước 1

Viết $\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Bước 5

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Bước 6

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Bước 6.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Bước 6.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 \int x^{- 2} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Bước 8

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} d x$

Bước 10

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 \int x^{2} d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 \frac{x^{3}}{3} + C$

Bước 12.2.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- 3 x^{3}}{3} + C$

Bước 12.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x^{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3} + C$

Bước 12.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 (1)} + C$

Bước 12.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Bước 12.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- x^{3}}{1} + C$

Bước 12.2.3.2.4

Chia $- x^{3}$ cho $1$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$