Giải tích Ví dụ

$y = \sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π)$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 3.2.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 3.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 3.2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (4 x) (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 3.2.4

Nhân $4$ với $1$ .

$\cos (4 x) \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 3.2.5

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\cos (4 x)$ .

$4 \cos (4 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 x^{2}$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \cos (4 x) - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 \cos (4 x) - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 3.3.3

Nhân $2$ với $- 8$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 3.4.3

Nhân $9$ với $1$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 3.5

Vì $π$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $π$ đối với $x$ là $0$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 + 0$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ và $0$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9$

Bước 3.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 16 x + 9 + 4 \cos (4 x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - 16 x + 9 + 4 \cos (4 x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 16 x + 9 + 4 \cos (4 x)$