Giải tích Ví dụ

$\tan^{2} (2 x)$

Bước 1

Viết $\tan^{2} (2 x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \tan^{2} (2 x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \tan^{2} (2 x) d x$

Bước 4

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 4.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \tan^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 5

Kết hợp $\tan^{2} (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u)}{2} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u) d u$

Bước 7

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (u)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

Bước 10

Vì đạo hàm của $\tan (u)$ là $\sec^{2} (u)$ , tích phân của $\sec^{2} (u)$ là $\tan (u)$ .

$\frac{1}{2} (- u + C + \tan (u) + C)$

Bước 11

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (- u + \tan (u)) + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- (2 x) + \tan (2 x)) + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 x + \tan (2 x)) + C$

Bước 13.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Bước 13.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Bước 13.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Bước 13.3.3

Viết lại biểu thức.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Bước 13.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\tan (2 x)$ .

$- x + \frac{\tan (2 x)}{2} + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \tan^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$