Giải tích Ví dụ

$\int 16 x^{2} \sqrt[3]{7 - 4 x^{3}} d x$

Bước 1

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $16$ ra khỏi tích phân.

$16 \int x^{2} \sqrt[3]{7 - 4 x^{3}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 7 - 4 x^{3}$ . Sau đó $d u = - 12 x^{2} d x$ , nên $- \frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 7 - 4 x^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $7 - 4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 4 x^{3}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 - 4 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{3}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 - 4 (3 x^{2})$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $- 4$ .

$0 - 12 x^{2}$

Bước 2.1.4

Trừ $12 x^{2}$ khỏi $0$ .

$- 12 x^{2}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$16 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 12} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$16 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{12}) d u$

Bước 3.2

Kết hợp $\sqrt[3]{u}$ và $\frac{1}{12}$ .

$16 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$16 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u)$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $16$ .

$- 16 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{12}$ ra khỏi tích phân.

$- 16 (\frac{1}{12} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Kết hợp $\frac{1}{12}$ và $- 16$ .

$\frac{- 16}{12} \int \sqrt[3]{u} d u$

Bước 7.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 16$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 16$ .

$\frac{4 (- 4)}{12} \int \sqrt[3]{u} d u$

Bước 7.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Bước 7.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Bước 7.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 4}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Bước 7.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Bước 7.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $- \frac{4}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ ở dạng $- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $\frac{3}{4}$ với $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 9.2.2

Nhân $3$ với $4$ .

$- \frac{12}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 9.2.3

Nhân $4$ với $3$ .

$- \frac{12}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 9.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{12}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 9.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 1 u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 9.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 - 4 x^{3}$ .

$- {(7 - 4 x^{3})}^{\frac{4}{3}} + C$