Giải tích Ví dụ

$y = x \ln (x) - x$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \ln (x) - x)$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x \ln (x) - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.2.4

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.2.6

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \ln (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \ln (x) - 1 \cdot 1$

Bước 3.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$1 + \ln (x) - 1$

Bước 3.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$0 + \ln (x)$

Bước 3.4.2

Cộng $0$ và $\ln (x)$ .

$\ln (x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \ln (x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (x)$