Giải tích Ví dụ

$\cos (x^{2} + y) = x$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\cos (x^{2} + y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = x^{2} + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + y$ .

$- \sin (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x^{2} + y) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + y')$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$ cho $- \sin (x^{2} + y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$ cho $- \sin (x^{2} + y)$ .

$\frac{- \sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{- \sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Bước 5.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{\sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Bước 5.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x^{2} + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{\sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Bước 5.1.2.2.2

Chia $2 x + y'$ cho $1$ .

$2 x + y' = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Bước 5.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$2 x + y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \sin (x^{2} + y)}$

Bước 5.1.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 x + y' = - \frac{1}{\sin (x^{2} + y)}$

Bước 5.1.3.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x^{2} + y)}$ sang $\csc (x^{2} + y)$ .

$2 x + y' = - \csc (x^{2} + y)$

Bước 5.2

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' = - \csc (x^{2} + y) - 2 x$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (x^{2} + y) - 2 x$