Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sqrt{x} - x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Bước 1.1.2

Để viết $\sqrt{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Bước 1.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Bước 1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 1.3

Nhân $\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}$ với $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3} x^{2}} d x$

Bước 1.3.2

Nhân $x^{3}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3 + 2}} d x$

Bước 1.3.2.2

Cộng $3$ và $2$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

Bước 2.2

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3} - 1}{x^{5}} d x$

Bước 2.2.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Bước 2.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Bước 2.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{1 + 6}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Bước 2.2.5.2

Cộng $1$ và $6$ .

$\int \frac{x^{\frac{7}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Bước 3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x^{5}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

Bước 3.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{- 5} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{\frac{7}{2}} x^{- 5} - 1 x^{- 5} d x$

Bước 4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{\frac{7}{2} - 5} - 1 x^{- 5} d x$

Bước 4.3

Để viết $- 5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{7}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Bước 4.4

Kết hợp $- 5$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{7}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int x^{\frac{7 - 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Bước 4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $- 5$ với $2$ .

$\int x^{\frac{7 - 10}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Bước 4.6.2

Trừ $10$ khỏi $7$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Bước 4.7

Sắp xếp lại $x^{\frac{- 3}{2}}$ và $- 1 x^{- 5}$ .

$\int - 1 x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $- 1 x^{- 5}$ ở dạng $- x^{- 5}$ .

$\int - x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Bước 5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int - x^{- 5} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 5}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $x^{- 4}$ và $\frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 9.2

Di chuyển $x^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Bước 11

Rút gọn.

$\frac{1}{4 x^{4}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$