Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{e^{(a + 1) x}}{a}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{e^{(a + 1) x}}{a} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{a}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{a}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{a} \int e^{(a + 1) x} d x$

Bước 4

Giả sử $u = (a + 1) x$ . Sau đó $d u = (a + 1) d x$ , nên $\frac{1}{a + 1} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = (a + 1) x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $(a + 1) x$ .

$\frac{d}{d x} [(a + 1) x]$

Bước 4.1.2

Vì $a + 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $(a + 1) x$ đối với $x$ là $(a + 1) \frac{d}{d x} [x]$ .

$(a + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(a + 1) \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $a + 1$ với $1$ .

$a + 1$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{a} \int e^{u} \frac{1}{a + 1} d u$

Bước 5

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{a + 1}$ .

$\frac{1}{a} \int \frac{e^{u}}{a + 1} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{a + 1}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{a + 1}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{a} (\frac{1}{a + 1} \int e^{u} d u)$

Bước 7

Nhân $\frac{1}{a + 1}$ với $\frac{1}{a}$ .

$\frac{1}{(a + 1) a} \int e^{u} d u$

Bước 8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{(a + 1) a} (e^{u} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$\frac{1}{(a + 1) a} e^{u} + C$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{1}{(a + 1) a}$ và $e^{u}$ .

$\frac{e^{u}}{(a + 1) a} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $(a + 1) x$ .

$\frac{e^{(a + 1) x}}{(a + 1) a} + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{e^{(a + 1) x}}{a}$ .

$F (x) =$ $\frac{e^{(a + 1) x}}{(a + 1) a} + C$