Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$

Bước 1

Viết $\frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Bước 2.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Bước 2.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Bước 2.1.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Bước 2.1.2.4

Kết hợp $\frac{4}{4}$ và $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Bước 2.1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Bước 2.1.2.5.2

Chia $x^{3}$ cho $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{3}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x^{3} + 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $5$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$

Bước 2.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{75}{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $\frac{75}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{75}{2} x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{75}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75}{2} (2 x)$

Bước 2.1.4.3

Kết hợp $2$ và $\frac{75}{2}$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 \cdot 75}{2} x$

Bước 2.1.4.4

Nhân $2$ với $75$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{150}{2} x$

Bước 2.1.4.5

Kết hợp $\frac{150}{2}$ và $x$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{150 x}{2}$

Bước 2.1.4.6

Triệt tiêu thừa số chung của $150$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $150 x$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2}$

Bước 2.1.4.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2 (1)}$

Bước 2.1.4.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{2 (75 x)}{2 \cdot 1}$

Bước 2.1.4.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{3} + 15 x^{2} + \frac{75 x}{1}$

Bước 2.1.4.6.2.4

Chia $75 x$ cho $1$ .

$f' (x) = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 15 x^{2} + 75 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

Bước 2.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

Bước 2.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Vì $15$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $15 x^{2}$ đối với $x$ là $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [75 x]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [75 x]$

Bước 2.2.2.3

Nhân $2$ với $15$ .

$3 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [75 x]$

Bước 2.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [75 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Vì $75$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $75 x$ đối với $x$ là $75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75 \cdot 1$

Bước 2.2.3.3

Nhân $75$ với $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 30 x + 75$

Bước 2.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $3 x^{2} + 30 x + 75$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75$

Bước 3

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $3 x^{2} + 30 x + 75 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$3 x^{2} + 30 x + 75 = 0$

Bước 3.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} + 30 x + 75$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 30 x + 75 = 0$

Bước 3.2.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $30 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (10 x) + 75 = 0$

Bước 3.2.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $75$ .

$3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

Bước 3.2.1.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{2} + 3 (10 x)$ .

$3 (x^{2} + 10 x) + 3 \cdot 25 = 0$

Bước 3.2.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (x^{2} + 10 x) + 3 \cdot 25$ .

$3 (x^{2} + 10 x + 25) = 0$

Bước 3.2.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$3 (x^{2} + 10 x + 5^{2}) = 0$

Bước 3.2.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Bước 3.2.2.3

Viết lại đa thức này.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Bước 3.2.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 5$ .

$3 {(x + 5)}^{2} = 0$

Bước 3.3

Chia mỗi số hạng trong $3 {(x + 5)}^{2} = 0$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 {(x + 5)}^{2} = 0$ cho $3$ .

$\frac{3 {(x + 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 {(x + 5)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Bước 3.3.2.1.2

Chia ${(x + 5)}^{2}$ cho $1$ .

${(x + 5)}^{2} = \frac{0}{3}$

Bước 3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Chia $0$ cho $3$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Bước 3.4

Đặt $x + 5$ bằng $0$ .

$x + 5 = 0$

Bước 3.5

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 5$

Bước 4

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $- 5$ trong $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 5$ trong biểu thức.

$f (- 5) = \frac{1}{4} \cdot {(- 5)}^{4} + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Bước 4.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $4$ .

$f (- 5) = \frac{1}{4} \cdot 625 + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Bước 4.1.2.1.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $625$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + 5 {(- 5)}^{3} + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Bước 4.1.2.1.3

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + 5 \cdot - 125 + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Bước 4.1.2.1.4

Nhân $5$ với $- 125$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75}{2} \cdot {(- 5)}^{2}$

Bước 4.1.2.1.5

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75}{2} \cdot 25$

Bước 4.1.2.1.6

Nhân $\frac{75}{2} \cdot 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.6.1

Kết hợp $\frac{75}{2}$ và $25$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{75 \cdot 25}{2}$

Bước 4.1.2.1.6.2

Nhân $75$ với $25$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} - 625 + \frac{1875}{2}$

Bước 4.1.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Viết $- 625$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625}{1} + \frac{1875}{2}$

Bước 4.1.2.2.2

Nhân $\frac{- 625}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1875}{2}$

Bước 4.1.2.2.3

Nhân $\frac{- 625}{1}$ với $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875}{2}$

Bước 4.1.2.2.4

Nhân $\frac{1875}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 4.1.2.2.5

Nhân $\frac{1875}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Bước 4.1.2.2.6

Nhân $2$ với $2$ .

$f (- 5) = \frac{625}{4} + \frac{- 625 \cdot 4}{4} + \frac{1875 \cdot 2}{4}$

Bước 4.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (- 5) = \frac{625 - 625 \cdot 4 + 1875 \cdot 2}{4}$

Bước 4.1.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.4.1

Nhân $- 625$ với $4$ .

$f (- 5) = \frac{625 - 2500 + 1875 \cdot 2}{4}$

Bước 4.1.2.4.2

Nhân $1875$ với $2$ .

$f (- 5) = \frac{625 - 2500 + 3750}{4}$

Bước 4.1.2.5

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.5.1

Trừ $2500$ khỏi $625$ .

$f (- 5) = \frac{- 1875 + 3750}{4}$

Bước 4.1.2.5.2

Cộng $- 1875$ và $3750$ .

$f (- 5) = \frac{1875}{4}$

Bước 4.1.2.6

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1875}{4}$ .

$\frac{1875}{4}$

Bước 4.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $- 5$ trong $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 5 x^{3} + \frac{75}{2} x^{2}$ là $(- 5, \frac{1875}{4})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(- 5, \frac{1875}{4})$

Bước 5

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, - 5)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 5.1$ trong biểu thức.

$f'' (- 5.1) = 3 {(- 5.1)}^{2} + 30 (- 5.1) + 75$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $- 5.1$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 5.1) = 3 \cdot 26.01 + 30 (- 5.1) + 75$

Bước 6.2.1.2

Nhân $3$ với $26.01$ .

$f'' (- 5.1) = 78.03 + 30 (- 5.1) + 75$

Bước 6.2.1.3

Nhân $30$ với $- 5.1$ .

$f'' (- 5.1) = 78.03 - 153 + 75$

Bước 6.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Trừ $153$ khỏi $78.03$ .

$f'' (- 5.1) = - 74.97 + 75$

Bước 6.2.2.2

Cộng $- 74.97$ và $75$ .

$f'' (- 5.1) = 0.03$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0.03$ .

$0.03$

Bước 6.3

Tại $- 5.1$ , đạo hàm bậc hai là $0.03$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- \infty, - 5)$ .

Tăng trên $(- \infty, - 5)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- 5, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4.9$ trong biểu thức.

$f'' (- 4.9) = 3 {(- 4.9)}^{2} + 30 (- 4.9) + 75$

Bước 7.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nâng $- 4.9$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 4.9) = 3 \cdot 24.01 + 30 (- 4.9) + 75$

Bước 7.2.1.2

Nhân $3$ với $24.01$ .

$f'' (- 4.9) = 72.03 + 30 (- 4.9) + 75$

Bước 7.2.1.3

Nhân $30$ với $- 4.9$ .

$f'' (- 4.9) = 72.03 - 147 + 75$

Bước 7.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Trừ $147$ khỏi $72.03$ .

$f'' (- 4.9) = - 74.97 + 75$

Bước 7.2.2.2

Cộng $- 74.97$ và $75$ .

$f'' (- 4.9) = 0.03$

Bước 7.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0.03$ .

$0.03$

Bước 7.3

Tại $- 4.9$ , đạo hàm bậc hai là $0.03$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(- 5, \infty)$ .

Tăng trên $(- 5, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 8

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Đồ thị này không có điểm nào thỏa mãn các điều đó.

Không có điểm uốn