Giải tích Ví dụ

$\sum_{x = 1}^{4} x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

Bước 1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $x$ .

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nâng $1$ lên lũy thừa $3$ .

$1 + 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.2

Nâng $1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $1$ .

$1 + 3 + 3 \cdot 1 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.4

Cộng $1$ và $3$ .

$4 + 3 \cdot 1 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.5

Nhân $3$ với $1$ .

$4 + 3 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.6

Cộng $4$ và $3$ .

$7 + 1 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.7

Cộng $7$ và $1$ .

$8 + 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$8 + 8 + 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.9

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$8 + 8 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.10

Nhân $3$ với $4$ .

$8 + 8 + 12 + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.11

Cộng $8$ và $12$ .

$8 + 20 + 3 \cdot 2 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.12

Nhân $3$ với $2$ .

$8 + 20 + 6 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.13

Cộng $20$ và $6$ .

$8 + 26 + 1 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.14

Cộng $26$ và $1$ .

$8 + 27 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.15

Cộng $8$ và $27$ .

$35 + 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.16

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$35 + 27 + 3 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.17

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$35 + 27 + 3 \cdot 9 + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.18

Nhân $3$ với $9$ .

$35 + 27 + 27 + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.19

Cộng $27$ và $27$ .

$35 + 54 + 3 \cdot 3 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.20

Nhân $3$ với $3$ .

$35 + 54 + 9 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.21

Cộng $54$ và $9$ .

$35 + 63 + 1 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.22

Cộng $63$ và $1$ .

$35 + 64 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.23

Cộng $35$ và $64$ .

$99 + 4^{3} + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.24

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$99 + 64 + 3 \cdot 4^{2} + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.25

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$99 + 64 + 3 \cdot 16 + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.26

Nhân $3$ với $16$ .

$99 + 64 + 48 + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.27

Cộng $64$ và $48$ .

$99 + 112 + 3 \cdot 4 + 1$

Bước 2.28

Nhân $3$ với $4$ .

$99 + 112 + 12 + 1$

Bước 2.29

Cộng $112$ và $12$ .

$99 + 124 + 1$

Bước 2.30

Cộng $124$ và $1$ .

$99 + 125$

Bước 2.31

Cộng $99$ và $125$ .

$224$