Giải tích Ví dụ

$2 y^{3} - 2 - x y = 5 x^{3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (2 y^{3} - 2 - x y) = \frac{d}{d x} (5 x^{3})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y^{3} - 2 - x y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.2.4

Nhân $3$ với $2$ .

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.3

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$6 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x y$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$6 y^{2} y' + 0 - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$6 y^{2} y' + 0 - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 y^{2} y' + 0 - (x y' + y \cdot 1)$

Bước 2.4.5

Nhân $y$ với $1$ .

$6 y^{2} y' + 0 - (x y' + y)$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 y^{2} y' + 0 - (x y') - y$

Bước 2.5.2

Cộng $6 y^{2} y'$ và $0$ .

$6 y^{2} y' - x y' - y$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{3}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$5 (3 x^{2})$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $5$ .

$15 x^{2}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$6 y^{2} y' - x y' - y = 15 x^{2}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $y$ cho cả hai vế của phương trình.

$6 y^{2} y' - x y' = 15 x^{2} + y$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $6 y^{2} y' - x y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $6 y^{2} y'$ .

$y' (6 y^{2}) - x y' = 15 x^{2} + y$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y'$ .

$y' (6 y^{2}) + y' (- x) = 15 x^{2} + y$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (6 y^{2}) + y' (- x)$ .

$y' (6 y^{2} - x) = 15 x^{2} + y$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (6 y^{2} - x) = 15 x^{2} + y$ cho $6 y^{2} - x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (6 y^{2} - x) = 15 x^{2} + y$ cho $6 y^{2} - x$ .

$\frac{y' (6 y^{2} - x)}{6 y^{2} - x} = \frac{15 x^{2}}{6 y^{2} - x} + \frac{y}{6 y^{2} - x}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6 y^{2} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (6 y^{2} - x)}{6 y^{2} - x} = \frac{15 x^{2}}{6 y^{2} - x} + \frac{y}{6 y^{2} - x}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{15 x^{2}}{6 y^{2} - x} + \frac{y}{6 y^{2} - x}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{15 x^{2} + y}{6 y^{2} - x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{2} + y}{6 y^{2} - x}$