Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 5}{2 x^{2} + 1}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.2.2

Chia $2$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 7

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{2 + 0}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0 + 5 \cdot 0$ và $2 + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{0 + 0 \cdot 5}{2 + 0}$

Bước 8.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{2 (0) + 0 \cdot 5}{2 + 0}$

Bước 8.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $0 \cdot 5$ .

$\frac{2 (0) + 2 (0 \cdot 5)}{2 + 0}$

Bước 8.1.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (0) + 2 (0 \cdot 5)$ .

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 + 0}$

Bước 8.1.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot 1 + 0}$

Bước 8.1.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 0}$

Bước 8.1.5.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1 + 2 \cdot 0$ .

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot (1 + 0)}$

Bước 8.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (0 + 0 \cdot 5)}{2 \cdot (1 + 0)}$

Bước 8.1.5.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{0 + 0 \cdot 5}{1 + 0}$

Bước 8.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $0$ với $5$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0}$

Bước 8.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Bước 8.3

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{0}{1}$

Bước 8.4

Chia $0$ cho $1$ .

$0$