Giải tích Ví dụ

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x \ln (x^{2})} d x$

Bước 1

Viết lại $\frac{1}{x \ln (x^{2})}$ ở dạng $\frac{1}{x (2 \ln (x))}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x (2 \ln (x))} d x$

Bước 2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Bước 3

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (4)$

Bước 3.3

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

Bước 3.4

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (8)$

Bước 3.5

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{\ln (4)}^{\ln (8)} \frac{1}{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{\ln (4)}^{\ln (8)}$

Bước 5

Tính $\ln (| u |)$ tại $\ln (8)$ và tại $\ln (4)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \ln (8) |) - \ln (| \ln (4) |))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})}{2}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

$\ln (8)$ xấp xỉ $2.07944154$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{| \ln (4) |})}{2}$

Bước 7.2

$\ln (4)$ xấp xỉ $1.38629436$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{\ln (4)})}{2}$

Bước 7.3

Viết lại $\ln (8)$ ở dạng $\ln (2^{3})$ .

$\frac{\ln (\frac{\ln (2^{3})}{\ln (4)})}{2}$

Bước 7.4

Khai triển $\ln (2^{3})$ bằng cách di chuyển $3$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (4)})}{2}$

Bước 7.5

Viết lại $\ln (4)$ ở dạng $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (2^{2})})}{2}$

Bước 7.6

Khai triển $\ln (2^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Bước 7.7

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Bước 7.7.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Dạng thập phân:

$0.20273255 \dots$