Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}}{4 + x^{2}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Bước 5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Bước 7

Tính giới hạn của $6$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 + x^{2}}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} 4 + lim_{x \to 2} x^{2}}$

Bước 9

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{4 + lim_{x \to 2} x^{2}}$

Bước 10

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{4 + {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $2$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - lim_{x \to 2} x}}{4 + {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - 2}}{4 + {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{4} - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Bước 12.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Bước 12.1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{2 - \sqrt{6 - 2}}{4 + 2^{2}}$

Bước 12.1.4

Trừ $2$ khỏi $6$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{4 + 2^{2}}$

Bước 12.1.5

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{4 + 2^{2}}$

Bước 12.1.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{4 + 2^{2}}$

Bước 12.1.7

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 - 2}{4 + 2^{2}}$

Bước 12.1.8

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{0}{4 + 2^{2}}$

Bước 12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{0}{4 + 4}$

Bước 12.2.2

Cộng $4$ và $4$ .

$\frac{0}{8}$

Bước 12.3

Chia $0$ cho $8$ .

$0$