Giải tích Ví dụ

$y = \frac{- 3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ , $(0, - 3)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 0$ và $y = - 3$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Bước 1.1.2

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Bước 1.1.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Viết lại $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ ở dạng ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Bước 1.1.3.2

Nhân các số mũ trong ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Bước 1.1.3.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 3}$ và $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$- 3 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (- 3 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$9 ({(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Bước 1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.3.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.3.5

Nhân $2$ với $3$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.3.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + 0)$

Bước 1.3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Cộng $6 x$ và $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x)$

Bước 1.3.7.2

Nhân $6$ với $9$ .

$54 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} x$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$54 \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

Bước 1.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Kết hợp $54$ và $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

Bước 1.4.2.2

Kết hợp $\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ và $x$ .

$\frac{54 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 1.5

Tính đạo hàm tại $x = 0$ .

$\frac{54 (0)}{{(3 {(0)}^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nhân $54$ với $0$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 0^{2} + 1)}^{4}}$

Bước 1.6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 0 + 1)}^{4}}$

Bước 1.6.2.2

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{4}}$

Bước 1.6.2.3

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{0}{1^{4}}$

Bước 1.6.2.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{0}{1}$

Bước 1.6.3

Chia $0$ cho $1$ .

$0$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $0$ và một điểm đã cho $(0, - 3)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = 0 \cdot (x - (0))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 3 = 0 \cdot (x + 0)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $0 \cdot (x + 0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Cộng $x$ và $0$ .

$y + 3 = 0 \cdot x$

Bước 2.3.1.2

Nhân $0$ với $x$ .

$y + 3 = 0$

Bước 2.3.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = - 3$

Bước 3