Giải tích Ví dụ

$f (r) = \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (r)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (r)$ .

$F (r) = \int f (r) d r$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (r) = \int \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{3}{1 + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Bước 4

Vì $3$ không đổi đối với $r$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \frac{1}{1 + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Bước 5

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$3 \int \frac{1}{1^{2} + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + r^{2}}$ đối với $r$ là $\arctan (r) + C$ .

$3 (\arctan (r) + C) + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $r$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$3 (\arctan (r) + C) - \int \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Bước 8

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{r^{4}}$ ở dạng $r^{\frac{4}{5}}$ .

$3 (\arctan (r) + C) - \int r^{\frac{4}{5}} d r$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $r^{\frac{4}{5}}$ đối với $r$ là $\frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}}$ .

$3 (\arctan (r) + C) - (\frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

$3 \arctan (r) - \frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (r) = \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}}$ .

$F (r) =$ $3 \arctan (r) - \frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C$