Giải tích Ví dụ

$\int_{- 1}^{3} - \frac{3}{32} x^{2} + \frac{3}{16} x + \frac{9}{32} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 1}^{3} - \frac{3}{32} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} \frac{3}{16} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

Bước 2

Vì $- \frac{3}{32}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{3}{32}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{3}{32} \int_{- 1}^{3} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} \frac{3}{16} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \int_{- 1}^{3} \frac{3}{16} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

Bước 4

Vì $\frac{3}{16}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{3}{16}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \frac{3}{16} \int_{- 1}^{3} x d x + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \frac{3}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3} + \int_{- 1}^{3} \frac{9}{32} d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{3}{32} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3} + \frac{3}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3} + \frac{9}{32} x]_{- 1}^{3}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{1}{3} x^{3}$ tại $3$ và tại $- 1$ .

$- \frac{3}{32} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3} + \frac{9}{32} x]_{- 1}^{3}$

Bước 7.2

Tính $\frac{1}{2} x^{2}$ tại $3$ và tại $- 1$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + \frac{9}{32} x]_{- 1}^{3}$

Bước 7.3

Tính $\frac{9}{32} x$ tại $3$ và tại $- 1$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $27$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3}{32} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{3}{32} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.3.2.4

Chia $9$ cho $1$ .

$- \frac{3}{32} (9 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{3}{32} (9 - \frac{1}{3} \cdot - 1) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{3}{32} (9 + 1 (\frac{1}{3})) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.6

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$- \frac{3}{32} (9 + \frac{1}{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.7

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{32} (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.8

Kết hợp $9$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{32} (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{3}{32} \cdot \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.10.1

Nhân $9$ với $3$ .

$- \frac{3}{32} \cdot \frac{27 + 1}{3} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.10.2

Cộng $27$ và $1$ .

$- \frac{3}{32} \cdot \frac{28}{3} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.11

Nhân $\frac{28}{3}$ với $\frac{3}{32}$ .

$- \frac{28 \cdot 3}{3 \cdot 32} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.12

Nhân $28$ với $3$ .

$- \frac{84}{3 \cdot 32} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.13

Nhân $3$ với $32$ .

$- \frac{84}{96} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.14

Triệt tiêu thừa số chung của $84$ và $96$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.14.1

Đưa $12$ ra ngoài $84$ .

$- \frac{12 (7)}{96} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.14.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $96$ .

$- \frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.15

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.16

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $9$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.17

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.18

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{9 - 1}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.20

Trừ $1$ khỏi $9$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{8}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.21

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.21.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.21.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.21.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.21.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.21.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot \frac{4}{1} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.21.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{16} \cdot 4 + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.22

Kết hợp $\frac{3}{16}$ và $4$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3 \cdot 4}{16} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.23

Nhân $3$ với $4$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{12}{16} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.24

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.24.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{4 (3)}{16} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.24.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.24.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.24.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{7}{8} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.24.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{4} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.25

Để viết $\frac{3}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.26

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.26.1

Nhân $\frac{3}{4}$ với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.26.2

Nhân $4$ với $2$ .

$- \frac{7}{8} + \frac{3 \cdot 2}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.27

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 7 + 3 \cdot 2}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.28

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.28.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{- 7 + 6}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.28.2

Cộng $- 7$ và $6$ .

$\frac{- 1}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.29

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{8} + (\frac{9}{32} \cdot 3) - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.30

Kết hợp $\frac{9}{32}$ và $3$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{9 \cdot 3}{32} - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.31

Nhân $9$ với $3$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{27}{32} - \frac{9}{32} \cdot - 1$

Bước 7.4.32

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{27}{32} + 1 (\frac{9}{32})$

Bước 7.4.33

Nhân $\frac{9}{32}$ với $1$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{27}{32} + \frac{9}{32}$

Bước 7.4.34

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{8} + \frac{27 + 9}{32}$

Bước 7.4.35

Cộng $27$ và $9$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{36}{32}$

Bước 7.4.36

Triệt tiêu thừa số chung của $36$ và $32$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.36.1

Đưa $4$ ra ngoài $36$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{4 (9)}{32}$

Bước 7.4.36.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.36.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $32$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}$

Bước 7.4.36.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{8} + \frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}$

Bước 7.4.36.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{8} + \frac{9}{8}$

Bước 7.4.37

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 + 9}{8}$

Bước 7.4.38

Cộng $- 1$ và $9$ .

$\frac{8}{8}$

Bước 7.4.39

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.39.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8}{8}$

Bước 7.4.39.2

Viết lại biểu thức.

$1$

Bước 8