Giải tích Ví dụ

$\int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ . Sau đó $d u = (9 x^{2} + 12 x + 3) d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = (3 x^{2} + 4 x + 1) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{3}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{2}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$9 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.4.3

Nhân $2$ với $6$ .

$9 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.5

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.5.3

Nhân $3$ với $1$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.6

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3 + 0$

Bước 1.1.6.2

Cộng $9 x^{2} + 12 x + 3$ và $0$ .

$9 x^{2} + 12 x + 3$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Bước 5

Rút gọn.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5 |) + C$