Giải tích Ví dụ

$\int x^{5} \sqrt{2 x^{6} + 3} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 2 x^{6} + 3$ . Sau đó $d u = 12 x^{5} d x$ , nên $\frac{1}{12} d u = x^{5} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 x^{6} + 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x^{6} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{6} + 3]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{6} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{6}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{6}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$2 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $6$ với $2$ .

$12 x^{5} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$12 x^{5} + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $12 x^{5}$ và $0$ .

$12 x^{5}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

Bước 2

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{12}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{12} \int \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{12} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6.2

Viết lại $\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ ở dạng $\frac{1}{18} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{18} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x^{6} + 3$ .

$\frac{1}{18} {(2 x^{6} + 3)}^{\frac{3}{2}} + C$