Giải tích Ví dụ

$y = (1 + x^{2}) \arctan (x) - x$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $(1 + x^{2}) \arctan (x) - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) \arctan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 1 + x^{2}$ và $g (x) = \arctan (x)$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (0 + 2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.6

Cộng $0$ và $2 x$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) - 1 \cdot 1$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) - 1$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x) - 1$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x) - 1$

Bước 4.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 + 2 x \arctan (x) - 1$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 + 2 x \arctan (x) - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$2 x \arctan (x) + 0$

Bước 4.3.2

Cộng $2 x \arctan (x)$ và $0$ .

$2 x \arctan (x)$