Giải tích Ví dụ

$\int 2 x (4 x + 5) (2 x + 1) d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int (x (4 x + 5)) (2 x + 1) d x$

Bước 2

Giả sử $u = 2 x + 1$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) (4 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 5) u \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u$ .

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) (4 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) + 5) \frac{u}{2} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int (\frac{u}{2} - \frac{1}{2}) (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) + 5) \frac{u}{2} d u$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) + 5) - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) + 5)) \frac{u}{2} d u$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2})) + \frac{u}{2} \cdot 5 - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) + 5)) \frac{u}{2} d u$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) + \frac{u}{2} \cdot 5 - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) + 5)) \frac{u}{2} d u$

Bước 4.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) + \frac{u}{2} \cdot 5 - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2} + 4 (- \frac{1}{2})) - \frac{1}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} d u$

Bước 4.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) + \frac{u}{2} \cdot 5 - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) - \frac{1}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} d u$

Bước 4.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) + \frac{u}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} + (- \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) - \frac{1}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} d u$

Bước 4.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int (\frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2}))) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} + (- \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) - \frac{1}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} d u$

Bước 4.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int \frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} + (- \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) - \frac{1}{2} \cdot 5) \frac{u}{2} d u$

Bước 4.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

Bước 4.11

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int \frac{u}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Bước 4.12

Sắp xếp lại $\frac{u}{2}$ và $4$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + \frac{u}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Bước 4.13

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + \frac{u}{2} (4 \cdot - 1) \frac{1}{2} \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Bước 4.14

Di chuyển $\frac{u}{2}$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Bước 4.15

Sắp xếp lại $\frac{u}{2}$ và $5$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \frac{u}{2}) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Bước 4.16

Di chuyển $\frac{1}{2}$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 (- \frac{1}{2})) \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Bước 4.17

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - \frac{1}{2} (4 \cdot - 1) \frac{1}{2} \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Bước 4.18

Di chuyển $\frac{1}{2}$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \frac{u}{2} d u$

Bước 4.19

Di chuyển $\frac{1}{2}$ .

$2 \int 4 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.20

Kết hợp $4$ và $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u}{2} \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.21

Nhân $\frac{4 u}{2}$ với $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u \cdot u}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.22

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int \frac{4 (u^{1} u)}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.23

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int \frac{4 (u^{1} u^{1})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.24

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \int \frac{4 u^{1 + 1}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.25

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{2}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.26

Nhân $2$ với $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{2}}{4} \cdot \frac{u}{2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.27

Nhân $\frac{4 u^{2}}{4}$ với $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{2} u}{4 \cdot 2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.28

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int \frac{4 (u^{2} u^{1})}{4 \cdot 2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.29

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \int \frac{4 u^{2 + 1}}{4 \cdot 2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.30

Cộng $2$ và $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{4 \cdot 2} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.31

Nhân $4$ với $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + 4 \cdot - 1 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.32

Nhân $4$ với $- 1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} - 4 \frac{u}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.33

Kết hợp $- 4$ và $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.34

Nhân $\frac{- 4 u}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.35

Nhân $2$ với $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u}{4} \cdot \frac{u}{2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.36

Nhân $\frac{- 4 u}{4}$ với $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u \cdot u}{4 \cdot 2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.37

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 (u^{1} u)}{4 \cdot 2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.38

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.39

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{1 + 1}}{4 \cdot 2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.40

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{4 \cdot 2} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.41

Nhân $4$ với $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + 5 \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.42

Kết hợp $5$ và $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u}{2} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.43

Nhân $\frac{5 u}{2}$ với $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u \cdot u}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.44

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 (u^{1} u)}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.45

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 (u^{1} u^{1})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.46

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.47

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2}}{2 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.48

Nhân $2$ với $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2}}{4} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.49

Để viết $\frac{5 u^{2}}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.50

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.50.1

Nhân $\frac{5 u^{2}}{4}$ với $\frac{2}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.50.2

Nhân $4$ với $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{5 u^{2} \cdot 2}{8} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.51

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \int \frac{4 u^{3}}{8} + \frac{- 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.52

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} - 1 \cdot 4 \frac{1}{2} \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.53

Nhân $- 1$ với $4$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} - 4 (\frac{1}{2}) \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.54

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4}{2} \cdot \frac{u}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.55

Nhân $\frac{- 4}{2}$ với $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.56

Nhân $2$ với $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u}{4} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.57

Nhân $\frac{- 4 u}{4}$ với $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u \cdot u}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.58

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 (u^{1} u)}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.59

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.60

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{1 + 1}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.61

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.62

Nhân $4$ với $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} - 1 \cdot 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.63

Nhân $- 1$ với $4$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} - 4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.64

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + 4 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.65

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.66

Nhân $\frac{4}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4}{2 \cdot 2} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.67

Nhân $2$ với $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4}{4} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.68

Nhân $\frac{4}{4}$ với $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{4 \cdot 2} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.69

Nhân $4$ với $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2} \frac{u}{2} d u$

Bước 4.70

Nhân $- 1$ với $5$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} - 5 (\frac{1}{2}) \frac{u}{2} d u$

Bước 4.71

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5}{2} \cdot \frac{u}{2} d u$

Bước 4.72

Nhân $\frac{- 5}{2}$ với $\frac{u}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u}{2 \cdot 2} d u$

Bước 4.73

Nhân $2$ với $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u}{4} d u$

Bước 4.74

Để viết $\frac{- 5 u}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u}{4} \cdot \frac{2}{2} d u$

Bước 4.75

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.75.1

Nhân $\frac{- 5 u}{4}$ với $\frac{2}{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u \cdot 2}{4 \cdot 2} d u$

Bước 4.75.2

Nhân $4$ với $2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u}{8} + \frac{- 5 u \cdot 2}{8} d u$

Bước 4.76

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2}}{8} + \frac{4 u - 5 u \cdot 2}{8} d u$

Bước 4.77

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2}{8} + \frac{- 4 u^{2} + 4 u - 5 u \cdot 2}{8} d u$

Bước 4.78

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2 - 4 u^{2} + 4 u - 5 u \cdot 2}{8} d u$

Bước 4.79

Sắp xếp lại $4 u$ và $- 5 u \cdot 2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2 - 4 u^{2} - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

Bước 4.80

Di chuyển $5 u^{2} \cdot 2$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 4 u^{2} - 4 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2 - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

Bước 4.81

Trừ $4 u^{2}$ khỏi $- 4 u^{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 8 u^{2} + 5 u^{2} \cdot 2 - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $2$ với $5$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} - 8 u^{2} + 10 u^{2} - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

Bước 5.2

Cộng $- 8 u^{2}$ và $10 u^{2}$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} + 2 u^{2} - 5 u \cdot 2 + 4 u}{8} d u$

Bước 5.3

Nhân $2$ với $- 5$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} + 2 u^{2} - 10 u + 4 u}{8} d u$

Bước 5.4

Cộng $- 10 u$ và $4 u$ .

$2 \int \frac{4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u}{8} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{8} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $2$ .

$\frac{2}{8} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{8} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

Bước 7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} \int 4 u^{3} + 2 u^{2} - 6 u d u$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{4} (\int 4 u^{3} d u + \int 2 u^{2} d u + \int - 6 u d u)$

Bước 9

Vì $4$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (4 \int u^{3} d u + \int 2 u^{2} d u + \int - 6 u d u)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 2 u^{2} d u + \int - 6 u d u)$

Bước 11

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 2 \int u^{2} d u + \int - 6 u d u)$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int - 6 u d u)$

Bước 13

Vì $- 6$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 6$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 6 \int u d u)$

Bước 14

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) - 6 (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Bước 15

Rút gọn.

$\frac{1}{4} (u^{4} + \frac{2 u^{3}}{3} - 3 u^{2}) + C$

Bước 16

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} ({(2 x + 1)}^{4} + \frac{2 {(2 x + 1)}^{3}}{3} - 3 {(2 x + 1)}^{2}) + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{4} ({(2 x + 1)}^{4} + \frac{2}{3} {(2 x + 1)}^{3} - 3 {(2 x + 1)}^{2}) + C$