Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Bước 2

Sắp xếp lại $4 x^{2}$ và $9$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{9 + 4 x^{2}} d x$

Bước 3

Đưa $4$ ra ngoài $9 + 4 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $4$ ra ngoài $9$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 x^{2}} d x$

Bước 3.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

Bước 3.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + x^{2})} d x$

Bước 4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{\frac{9}{4} + x^{2}} d x$

Bước 5

Viết lại $\frac{9}{4}$ ở dạng ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} 1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Bước 7.1.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Bước 7.1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (x \frac{2}{3})]_{0}^{t}$

Bước 7.1.4

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x \cdot 2}{3})]_{0}^{t}$

Bước 7.1.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot x}{3})]_{0}^{t}$

Bước 7.1.6

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $\arctan (\frac{2 x}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$

Bước 7.1.7

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}}{4}$

Bước 7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Tính $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}$ tại $t$ và tại $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3}) - \frac{2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{3})}{3}}{4}$

Bước 7.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Nhân $2$ với $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{3})}{3}}{4}$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3}}{4}$

Bước 7.2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Bước 7.2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Bước 7.2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{1})}{3}}{4}$

Bước 7.2.2.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Bước 7.2.2.3

Nhân $\frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Bước 7.2.2.4

Kết hợp.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 (\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Bước 7.2.2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Bước 7.2.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Bước 7.2.2.6.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Bước 7.2.2.7

Nhân $- 1$ với $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 3 \frac{2 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Bước 7.2.2.8

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2 \arctan (0)}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 3 (2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Bước 7.2.2.9

Nhân $2$ với $- 3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 6 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Bước 7.2.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.10.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Bước 7.2.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.10.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 (1)}}{3 \cdot 4}$

Bước 7.2.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 4}$

Bước 7.2.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 2 \arctan (0)}{1}}{3 \cdot 4}$

Bước 7.2.2.10.2.4

Chia $- 2 \arctan (0)$ cho $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{3 \cdot 4}$

Bước 7.2.2.11

Nhân $3$ với $4$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{12}$

Bước 7.2.2.12

Triệt tiêu thừa số chung của $2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \arctan (\frac{2 t}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) - 2 \arctan (0)}{12}$

Bước 7.2.2.12.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))}{12}$

Bước 7.2.2.12.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{12}$

Bước 7.2.2.12.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.12.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 (6)}$

Bước 7.2.2.12.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 \cdot 6}$

Bước 7.2.2.12.4.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{t \to \infty} \frac{\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)}{6}$

Bước 8

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chuyển số hạng $\frac{1}{6}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $t$ .

$\frac{1}{6} lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)$

Bước 8.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Bước 8.3

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{1}{6} (\infty - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Bước 8.4

Thay $t$ vào $\frac{2 t}{3}$ và cho $t$ tiến về $\infty$ vì $lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3} = \infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Bước 8.5

Giới hạn khi $t$ tiến về $\infty$ là bằng $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Bước 8.6

Tính giới hạn của $\arctan (0)$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - \arctan (0))$

Bước 8.7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1.1

Giá trị chính xác của $\arctan (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - 0)$

Bước 8.7.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} + 0)$

Bước 8.7.2

Cộng $\frac{π}{2}$ và $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$

Bước 8.7.3

Nhân $\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.3.1

Nhân $\frac{1}{6}$ với $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{6 \cdot 2}$

Bước 8.7.3.2

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{π}{12}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{12}$

Dạng thập phân:

$0.26179938 \dots$