Giải tích Ví dụ

$- 5 y^{3} = - 2 x - x y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (- 5 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 2 x - x y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 y^{3}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $- 5$ .

$- 15 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 15 y^{2} y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 x - x y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 3.2.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x y$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- 2 - \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$- 2 - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 2 - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 - (x y' + y \cdot 1)$

Bước 3.3.5

Nhân $y$ với $1$ .

$- 2 - (x y' + y)$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 - (x y') - y$

Bước 3.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 2 - x y' - y$

Bước 3.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x y' - y - 2$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- 15 y^{2} y' = - x y' - y - 2$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $x y'$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 15 y^{2} y' + x y' = - y - 2$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- 15 y^{2} y' + x y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- 15 y^{2} y'$ .

$y' (- 15 y^{2}) + x (y') = - y - 2$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $x y'$ .

$y' (- 15 y^{2}) + y' (x) = - y - 2$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- 15 y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (- 15 y^{2} + x) = - y - 2$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (- 15 y^{2} + x) = - y - 2$ cho $- 15 y^{2} + x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (- 15 y^{2} + x) = - y - 2$ cho $- 15 y^{2} + x$ .

$\frac{y' (- 15 y^{2} + x)}{- 15 y^{2} + x} = \frac{- y}{- 15 y^{2} + x} + \frac{- 2}{- 15 y^{2} + x}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 15 y^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- 15 y^{2} + x)}{- 15 y^{2} + x} = \frac{- y}{- 15 y^{2} + x} + \frac{- 2}{- 15 y^{2} + x}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- y}{- 15 y^{2} + x} + \frac{- 2}{- 15 y^{2} + x}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- y - 2}{- 15 y^{2} + x}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y$ .

$y' = \frac{- (y) - 2}{- 15 y^{2} + x}$

Bước 5.3.3.3

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (y) - 1 (2)}{- 15 y^{2} + x}$

Bước 5.3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (y + 2)}{- 15 y^{2} + x}$

Bước 5.3.3.5

Viết lại $- (y + 2)$ ở dạng $- 1 (y + 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{- 15 y^{2} + x}$

Bước 5.3.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 15 y^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{- (15 y^{2}) + x}$

Bước 5.3.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $x$ .

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{- (15 y^{2}) - 1 (- x)}$

Bước 5.3.3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (15 y^{2}) - 1 (- x)$ .

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{- (15 y^{2} - x)}$

Bước 5.3.3.9

Viết lại $- (15 y^{2} - x)$ ở dạng $- 1 (15 y^{2} - x)$ .

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{- 1 (15 y^{2} - x)}$

Bước 5.3.3.10

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{- 1 (y + 2)}{- 1 (15 y^{2} - x)}$

Bước 5.3.3.11

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{y + 2}{15 y^{2} - x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 2}{15 y^{2} - x}$