Giải tích Ví dụ

$f (x) = 4 x e^{2 x}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 4 x e^{2 x} d x$

Bước 3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int x e^{2 x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{2 x}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Bước 5.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Bước 7

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 7.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Bước 8

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Bước 11

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Bước 12

Viết lại $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ ở dạng $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Bước 14.1.2

Kết hợp $\frac{x}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Bước 14.1.3

Kết hợp $e^{2 x}$ và $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Bước 14.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Bước 14.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Bước 14.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Bước 14.3.3

Viết lại biểu thức.

$2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Bước 14.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{2 x}}{4}$ vào tử số.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Bước 14.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Bước 14.4.3

Viết lại biểu thức.

$2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 x e^{2 x}$ .

$F (x) =$ $2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$