Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{5} {(x - 2)}^{2} + 1 d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{5} {(x - 2)}^{2} d x + \int_{0}^{5} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x - 2$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x - 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.1.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Bước 2.3

Trừ $2$ khỏi $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 5 - 2$

Bước 2.5

Trừ $2$ khỏi $5$ .

$u_{upper} = 3$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 3$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- 2}^{3} u^{2} d u + \int_{0}^{5} d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 2}^{3} + \int_{0}^{5} d x$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 2}^{3} + x]_{0}^{5}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{3} u^{3}$ tại $3$ và tại $- 2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + x]_{0}^{5}$

Bước 5.2

Tính $x$ tại $5$ và tại $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Bước 5.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $27$ .

$\frac{27}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Bước 5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Bước 5.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Bước 5.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Bước 5.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9}{1} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Bước 5.3.3.2.4

Chia $9$ cho $1$ .

$9 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Bước 5.3.4

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$9 - \frac{1}{3} \cdot - 8 + (5) + 0$

Bước 5.3.5

Nhân $- 8$ với $- 1$ .

$9 + 8 (\frac{1}{3}) + (5) + 0$

Bước 5.3.6

Kết hợp $8$ và $\frac{1}{3}$ .

$9 + \frac{8}{3} + (5) + 0$

Bước 5.3.7

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} + (5) + 0$

Bước 5.3.8

Kết hợp $9$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} + (5) + 0$

Bước 5.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{9 \cdot 3 + 8}{3} + (5) + 0$

Bước 5.3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.10.1

Nhân $9$ với $3$ .

$\frac{27 + 8}{3} + (5) + 0$

Bước 5.3.10.2

Cộng $27$ và $8$ .

$\frac{35}{3} + (5) + 0$

Bước 5.3.11

Cộng $5$ và $0$ .

$\frac{35}{3} + 5$

Bước 5.3.12

Để viết $5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 5.3.13

Kết hợp $5$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Bước 5.3.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{35 + 5 \cdot 3}{3}$

Bước 5.3.15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.15.1

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{35 + 15}{3}$

Bước 5.3.15.2

Cộng $35$ và $15$ .

$\frac{50}{3}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{50}{3}$

Dạng thập phân:

$16.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$16 \frac{2}{3}$

Bước 7