Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \ln (1 - x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (1 - x)$ và $d v = 1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

Bước 2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{x}{1 - x} d x$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Bước 4.1.2

Nhân $\int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$ với $1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $1$ và $- x$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{- x + 1} d x$

Bước 5

Chia $x$ cho $- x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Bước 5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Bước 5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Bước 5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x - 1$

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Bước 5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Bước 5.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

Bước 8

Giả sử $u = - x + 1$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = - x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Viết lại.

$\frac{- 1}{1}$

Bước 8.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 8.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - x + 1$ .

$u_{lower} = - 0 + 1$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 8.3.2

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 8.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - x + 1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1 + 1$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{upper} = - 1 + 1$

Bước 8.5.2

Cộng $- 1$ và $1$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 8.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Bước 8.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Bước 9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Bước 11

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Bước 12

Kết hợp $\ln (1 - x) x]_{0}^{1}$ và $- x]_{0}^{1}$ .

$\ln (1 - x) x - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Bước 13

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính $\ln (1 - x) x - x$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Bước 13.2

Tính $\ln (| u |)$ tại $0$ và tại $1$ .

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 13.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (1 - 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 13.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 13.3.3

Logarit tự nhiên của 0 là không xác định.

Không xác định

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 13.4

Logarit tự nhiên của 0 là không xác định.

Không xác định

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 14

Logarit tự nhiên của 0 là không xác định.

Không xác định