Giải tích Ví dụ

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2}}} d x$

Bước 1

Đưa $x$ ra ngoài $6 x - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $x$ ra ngoài $6 x$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 - x^{2}}} d x$

Bước 1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 + x (- x)}} d x$

Bước 1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 6 + x (- x)$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x (6 - x)}} d x$

Bước 2

Hoàn thành bình phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \cdot 6 + x (- x)$

Bước 2.1.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x$ .

$6 \cdot x + x (- x)$

Bước 2.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$6 \cdot x - x \cdot x$

Bước 2.1.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$6 x - (x \cdot x)$

Bước 2.1.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$6 x - x^{2}$

Bước 2.1.5

Sắp xếp lại $6 x$ và $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 x$

Bước 2.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

Bước 2.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.4.2.1.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Bước 2.4.2.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$d = - 3$

Bước 2.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 2.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Bước 2.5.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Bước 2.5.2.1.3

Chia $36$ cho $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Bước 2.5.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Bước 2.5.2.2

Cộng $0$ và $9$ .

$e = 9$

Bước 2.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(x - 3)}^{2} + 9$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{- {(x - 3)}^{2} + 9}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = x - 3$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = x - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 3.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 3.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 3 - 3$

Bước 3.3

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 6 - 3$

Bước 3.5

Trừ $3$ khỏi $6$ .

$u_{upper} = 3$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 9}} d u$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 3^{2}}} d u$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $- u^{2}$ và $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ đối với $u$ là $\arcsin (\frac{u}{3})$

$\arcsin (\frac{u}{3})]_{0}^{3}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\arcsin (\frac{u}{3})$ tại $3$ và tại $0$ .

$(\arcsin (\frac{3}{3})) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\arcsin (\frac{3}{3}) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Bước 6.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 (0)}{3})$

Bước 6.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 6.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Bước 6.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{1})$

Bước 6.2.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (1)$ là $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - \arcsin (0)$

Bước 7.1.2

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

Bước 7.1.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Bước 7.2

Cộng $\frac{π}{2}$ và $0$ .

$\frac{π}{2}$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{2}$

Dạng thập phân:

$1.57079632 \dots$

Bước 9