Giải tích Ví dụ

$e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$

Bước 1

Viết $e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x}) d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- 3 e^{- 2 x}) d x$

Bước 4.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\int e^{x} + e^{x} (- 3 e^{- 2 x}) d x$

Bước 4.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\int e^{x} - 3 e^{x} e^{- 2 x} d x$

Bước 4.4

Nhân $e^{x}$ với $e^{- 2 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Di chuyển $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{x} - 3 (e^{- 2 x} e^{x}) d x$

Bước 4.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int e^{x} - 3 e^{- 2 x + x} d x$

Bước 4.4.3

Cộng $- 2 x$ và $x$ .

$\int e^{x} - 3 e^{- x} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int e^{x} d x + \int - 3 e^{- x} d x$

Bước 6

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$e^{x} + C + \int - 3 e^{- x} d x$

Bước 7

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$e^{x} + C - 3 \int e^{- x} d x$

Bước 8

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 8.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 8.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{x} + C - 3 \int - e^{u} d u$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{x} + C - 3 (- \int e^{u} d u)$

Bước 10

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$e^{x} + C + 3 \int e^{u} d u$

Bước 11

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{x} + C + 3 (e^{u} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

$e^{x} + 3 e^{u} + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$ .

$F (x) =$ $e^{x} + 3 e^{- x} + C$