Giải tích Ví dụ

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle 60-55\sin (\frac{\pi }{10}t+\frac{\pi }{2})}$ đối với ${\displaystyle t}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[60\right]+\frac{d}{dt}[-55\sin (\frac{\pi }{10}t+\frac{\pi }{2})]}$.

Vì ${\displaystyle 60}$ là hằng số đối với ${\displaystyle t}$, đạo hàm của ${\displaystyle 60}$ đối với ${\displaystyle t}$ là ${\displaystyle 0}$.

Kết hợp ${\displaystyle \frac{\pi }{10}}$ và ${\displaystyle t}$.

Vì ${\displaystyle -55}$ không đổi đối với ${\displaystyle t}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle -55\sin (\frac{\pi t}{10}+\frac{\pi }{2})}$ đối với ${\displaystyle t}$ là ${\displaystyle -55\frac{d}{dt}\left[\sin (\frac{\pi t}{10}+\frac{\pi }{2})\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[f\left(g\left(t\right)\right)\right]}$ là ${\displaystyle f\prime \left(g\left(t\right)\right)g\prime \left(t\right)}$ trong đó ${\displaystyle f\left(t\right)=\sin \left(t\right)}$ và ${\displaystyle g\left(t\right)=\frac{\pi t}{10}+\frac{\pi }{2}}$.

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle \frac{\pi t}{10}+\frac{\pi }{2}}$ đối với ${\displaystyle t}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[\frac{\pi t}{10}\right]+\frac{d}{dt}\left[\frac{\pi }{2}\right]}$.

Vì ${\displaystyle \frac{\pi }{10}}$ không đổi đối với ${\displaystyle t}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle \frac{\pi t}{10}}$ đối với ${\displaystyle t}$ là ${\displaystyle \frac{\pi }{10}\frac{d}{dt}\left[t\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[t^n\right]}$ là ${\displaystyle n{t}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=1}$.

Vì ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ là hằng số đối với ${\displaystyle t}$, đạo hàm của ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ đối với ${\displaystyle t}$ là ${\displaystyle 0}$.

Nhân ${\displaystyle \frac{\pi }{10}}$ với ${\displaystyle 1}$.

Cộng ${\displaystyle \frac{\pi }{10}}$ và ${\displaystyle 0}$.

Kết hợp ${\displaystyle \cos (\frac{\pi t}{10}+\frac{\pi }{2})}$ và ${\displaystyle \frac{\pi }{10}}$.

Kết hợp ${\displaystyle -55}$ và ${\displaystyle \frac{\cos (\frac{\pi t}{10}+\frac{\pi }{2})\pi }{10}}$.

Triệt tiêu thừa số chung của ${\displaystyle -55}$ và ${\displaystyle 10}$.

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

Trừ ${\displaystyle \frac{11\cos (\frac{\pi t}{10}+\frac{\pi }{2})\pi }{2}}$ khỏi ${\displaystyle 0}$.

Sắp xếp lại các thừa số trong ${\displaystyle -\frac{11\cos (\frac{\pi t}{10}+\frac{\pi }{2})\pi }{2}}$.

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập ${\displaystyle u}$ ở dạng ${\displaystyle \frac{\pi t}{10}+\frac{\pi }{2}}$.

Đạo hàm của ${\displaystyle \cos \left(u\right)}$ đối với ${\displaystyle u}$ là ${\displaystyle -\sin \left(u\right)}$.

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của ${\displaystyle u}$ với ${\displaystyle \frac{\pi t}{10}+\frac{\pi }{2}}$.

Nhân ${\displaystyle -1}$ với ${\displaystyle -1}$.

Kết hợp các phân số.

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${\displaystyle \frac{\pi t}{10}+\frac{\pi }{2}}$ đối với ${\displaystyle t}$ là ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[\frac{\pi t}{10}\right]+\frac{d}{dt}\left[\frac{\pi }{2}\right]}$.

Vì ${\displaystyle \frac{\pi }{10}}$ không đổi đối với ${\displaystyle t}$, nên đạo hàm của ${\displaystyle \frac{\pi t}{10}}$ đối với ${\displaystyle t}$ là ${\displaystyle \frac{\pi }{10}\frac{d}{dt}\left[t\right]}$.

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left[t^n\right]}$ là ${\displaystyle n{t}^{n-1}}$ trong đó ${\displaystyle n=1}$.

Nhân ${\displaystyle \frac{\pi }{10}}$ với ${\displaystyle 1}$.

Vì ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ là hằng số đối với ${\displaystyle t}$, đạo hàm của ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ đối với ${\displaystyle t}$ là ${\displaystyle 0}$.

Kết hợp các phân số.

Chia mỗi số hạng trong ${\displaystyle 11\pi \cos (\frac{\pi t}{10}+\frac{\pi }{2})=0}$ cho ${\displaystyle 11\pi }$.

Rút gọn vế trái.

Rút gọn vế phải.

Giá trị chính xác của ${\displaystyle \arccos \left(0\right)}$ là ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

Trừ ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Trừ ${\displaystyle \pi }$ khỏi ${\displaystyle \pi }$.

Chia ${\displaystyle 0}$ cho ${\displaystyle 2}$.

Chia mỗi số hạng trong ${\displaystyle \pi t=0}$ cho ${\displaystyle \pi }$.

Rút gọn vế trái.

Rút gọn vế phải.

Rút gọn ${\displaystyle 2\pi -\frac{\pi }{2}}$.

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa ${\displaystyle t}$ sang vế phải của phương trình.

Nhân cả hai vế của phương trình với ${\displaystyle \frac{10}{\pi }}$.

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Đưa ${\displaystyle 10}$ ra ngoài ${\displaystyle \pi \left(0\right)}$.

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhân ${\displaystyle \pi }$ với ${\displaystyle 0}$.

Cộng ${\displaystyle 0}$ và ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

Giá trị chính xác của ${\displaystyle \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)}$ là ${\displaystyle 1}$.

Nhân ${\displaystyle 11}$ với ${\displaystyle 1}$.

Rút gọn mỗi số hạng.

Trừ ${\displaystyle 55}$ khỏi ${\displaystyle 60}$.

Câu trả lời cuối cùng là ${\displaystyle 5}$.

Triệt tiêu thừa số chung.

Chia ${\displaystyle \pi }$ cho ${\displaystyle 1}$.

Để viết ${\displaystyle \pi }$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kết hợp ${\displaystyle \pi }$ và ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

Rút gọn tử số.

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

Giá trị chính xác của ${\displaystyle \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)}$ là ${\displaystyle 1}$.

Nhân ${\displaystyle -1}$ với ${\displaystyle 1}$.

Nhân ${\displaystyle -1}$ với ${\displaystyle 11}$.

Rút gọn mỗi số hạng.

Cộng ${\displaystyle 60}$ và ${\displaystyle 55}$.

Câu trả lời cuối cùng là ${\displaystyle 115}$.