Giải tích Ví dụ

$\int x (x^{2} + 7) (\frac{1}{3}) d x$

Bước 1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x$ .

$\int \frac{x}{3} (x^{2} + 7) d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ , nên $3 d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 2.1.2

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Bước 2.1.4

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 u_{1})}^{2} + 7) d u_{1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 (u_{1}))}^{2} + 7) d u_{1}$

Bước 3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (u_{1})$ .

$\int 3 u_{1} (3^{2} {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Bước 3.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\int 3 u_{1} (9 {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Sau đó $d u_{2} = 18 u_{1} d u_{1}$ , nên $\frac{1}{18} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2} + 7]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 {u_{1}}^{2} + 7$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $9$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $9 {u_{1}}^{2}$ đối với $u_{1}$ là $9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$9 (2 u_{1}) + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Bước 4.1.3.3

Nhân $2$ với $9$ .

$18 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $7$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $7$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$18 u_{1} + 0$

Bước 4.1.4.2

Cộng $18 u_{1}$ và $0$ .

$18 u_{1}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int 3 u_{2} \frac{1}{18} d u_{2}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{18}$ và $3$ .

$\int \frac{3}{18} u_{2} d u_{2}$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{3}{18}$ và $u_{2}$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{18} d u_{2}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 u_{2}$ .

$\int \frac{3 (u_{2})}{18} d u_{2}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $18$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Bước 5.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{u_{2}}{6} d u_{2}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{6} \int u_{2} d u_{2}$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ ở dạng $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nhân $\frac{1}{6}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 8.2.2

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{1}{12} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 9

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{1}{12} {(9 {u_{1}}^{2} + 7)}^{2} + C$

Bước 9.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{x}{3})}^{2} + 7)}^{2} + C$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{1}{3} x)}^{2} + 7)}^{2} + C$