Giải tích Ví dụ

$e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x - e}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x - e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - e$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - e$ .

$e^{x - e} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - e$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$e^{x - e} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x - e} (1 + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Bước 2.4

Vì $- e$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- e$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x - e} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Bước 2.5

Cộng $1$ và $0$ .

$e^{x - e} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Bước 2.6

Nhân $e^{x - e}$ với $1$ .

$e^{x - e} + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Bước 3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- \frac{1}{e}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x}{e}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \cdot 1$

Bước 4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Để viết $e^{x - e}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

Bước 5.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} - \frac{1}{e}$

Bước 5.1.3

Để viết $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e}{e}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e}$

Bước 5.1.4

Để viết $- \frac{1}{e}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

Bước 5.1.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $x e$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.1

Nhân $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ với $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

Bước 5.1.5.2

Nhân $\frac{1}{e}$ với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{x}{e x}$

Bước 5.1.5.3

Sắp xếp lại các thừa số của $x e$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{e x} - \frac{x}{e x}$

Bước 5.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e - x}{e x}$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e (e^{x - e} x + 1) - x}{e x}$