Giải tích Ví dụ

$\frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$

Bước 1

Viết $\frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x - 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Bước 5

Di chuyển $x^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (x - 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Bước 6

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Bước 6.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int (x - 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 7

Khai triển $(x - 1) x^{- \frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 7.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 7.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{1 - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 7.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 7.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int x^{\frac{3 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 7.6

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$