Giải tích Ví dụ

$\int {(2 + y^{2})}^{2} d y$

Bước 1

Khai triển ${(2 + y^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(2 + y^{2})}^{2}$ ở dạng $(2 + y^{2}) (2 + y^{2})$ .

$\int (2 + y^{2}) (2 + y^{2}) d y$

Bước 1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 (2 + y^{2}) + y^{2} (2 + y^{2}) d y$

Bước 1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + y^{2} (2 + y^{2}) d y$

Bước 1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + y^{2} \cdot 2 + y^{2} y^{2} d y$

Bước 1.5

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $2$ .

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + 2 \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Bước 1.6

Nhân $2$ với $2$ .

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Bước 1.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{2 + 2} d y$

Bước 1.8

Cộng $2$ và $2$ .

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{4} d y$

Bước 1.9

Cộng $2 y^{2}$ và $2 y^{2}$ .

$\int 4 + 4 y^{2} + y^{4} d y$

Bước 1.10

Sắp xếp lại $4 y^{2}$ và $y^{4}$ .

$\int 4 + y^{4} + 4 y^{2} d y$

Bước 1.11

Di chuyển $4$ .

$\int y^{4} + 4 y^{2} + 4 d y$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y^{4} d y + \int 4 y^{2} d y + \int 4 d y$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{4}$ đối với $y$ là $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + \int 4 y^{2} d y + \int 4 d y$

Bước 4

Vì $4$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 \int y^{2} d y + \int 4 d y$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 4 d y$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 4 y + C$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{y^{3}}{3} + C) + 4 y + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

$\frac{y^{5}}{5} + \frac{4 y^{3}}{3} + 4 y + C$

Bước 7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{4}{3} y^{3} + 4 y + C$