Giải tích Ví dụ

$\sin^{2} (2 x^{3} + 3 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (2 x^{3} + 3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x^{3} + 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x^{3} + 3 x$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x^{3} + 3 x$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\cos (2 x^{3} + 3 x) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{3} + 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 3.4

Nhân $3$ với $2$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 3.5

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3 \cdot 1)$

Bước 3.7

Nhân $3$ với $1$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$ .

$2 \cos (2 x^{3} + 3 x) \sin (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $2 \cos (2 x^{3} + 3 x)$ và $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ .

$\sin (2 x^{3} + 3 x) (2 \cos (2 x^{3} + 3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Bước 4.3

Sắp xếp lại $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ và $2$ .

$2 \cdot \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

Bước 4.4

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\sin (2 (2 x^{3} + 3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Bước 4.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (2 (2 x^{3}) + 2 (3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Bước 4.6

Nhân $2$ với $2$ .

$\sin (4 x^{3} + 2 (3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Bước 4.7

Nhân $3$ với $2$ .

$\sin (4 x^{3} + 6 x) (6 x^{2} + 3)$

Bước 4.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (4 x^{3} + 6 x) (6 x^{2}) + \sin (4 x^{3} + 6 x) \cdot 3$

Bước 4.9

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + \sin (4 x^{3} + 6 x) \cdot 3$

Bước 4.10

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sin (4 x^{3} + 6 x)$ .

$6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + 3 \cdot \sin (4 x^{3} + 6 x)$

Bước 4.11

Sắp xếp lại các thừa số trong $6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + 3 \sin (4 x^{3} + 6 x)$ .

$6 x^{2} \sin (4 x^{3} + 6 x) + 3 \sin (4 x^{3} + 6 x)$