Giải tích Ví dụ

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (x) = \frac{d}{d y} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

Bước 2

Đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $x'$ .

$x'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{y^{4}}{4}$ đối với $y$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2.4

Kết hợp $\frac{4}{4}$ và $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.2.5.2

Chia $y^{3}$ cho $1$ .

$y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{8 y^{2}}$ đối với $y$ là $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{1}{y^{2}}$ ở dạng ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{- 1}$ và $g (y) = y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 3.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 3.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Bước 3.3.5

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Bước 3.3.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{- 4} (2 y))$

Bước 3.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 4} y)$

Bước 3.3.7

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Bước 3.3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{1 - 4})$

Bước 3.3.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 3})$

Bước 3.3.10

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{8}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8} y^{- 3}$

Bước 3.3.11

Kết hợp $\frac{- 2}{8}$ và $y^{- 3}$ .

$y^{3} + \frac{- 2 y^{- 3}}{8}$

Bước 3.3.12

Di chuyển $y^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8 y^{3}}$

Bước 3.3.13

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{8 y^{3}}$

Bước 3.3.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 y^{3}$ .

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{2 (4 y^{3})}$

Bước 3.3.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (4 y^{3})}$

Bước 3.3.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$y^{3} + \frac{- 1}{4 y^{3}}$

Bước 3.3.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$x' = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

Bước 5

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$