Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Bước 1

Viết $\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $d$ và $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$\int \frac{d}{2 \sqrt{x}} \cdot x d x$

Bước 4.2

Kết hợp $\frac{d}{2 \sqrt{x}}$ và $x$ .

$\int \frac{d x}{2 \sqrt{x}} d x$

Bước 5

Vì $\frac{d}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{d}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{\sqrt{x}} d x$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{2} \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 6.2.2

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{2} \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 6.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{2} \int x^{1 - \frac{1}{2}} d x$

Bước 6.2.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Bước 6.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2 - 1}{2}} d x$

Bước 6.2.2.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Bước 8.2

Viết lại $\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $d$ .

$\frac{d}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.3.2

Nhân $\frac{d}{2}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d \cdot 2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{d \cdot 2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.3.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $d$ .

$\frac{2 \cdot d}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 d$ .

$\frac{2 (d)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.3.6

Kết hợp $\frac{d}{3}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

$\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 9

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$