Giải tích Ví dụ

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$

Bước 1

Viết $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x$

Bước 4

Giả sử $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ dương.

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\tan (t)$ .

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 5.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 5.1.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 5.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 5.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 5.1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 5.1.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 5.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $\sec (t)$ và $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 5.2.2

Nhân $\sec (t)$ với $\sec^{2} (t)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nhân $\sec (t)$ với $\sec^{2} (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Bước 5.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

Bước 5.2.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\int \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sec^{3} (t) d t$

Bước 7

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Bước 8

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sec (t)$ và $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Bước 9

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Bước 10

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Bước 11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Bước 12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Bước 12.2

Sắp xếp lại $\tan^{2} (t)$ và $\sec (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Bước 13

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Bước 14

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Bước 14.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Bước 14.3

Sắp xếp lại $\sec (t)$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Bước 15

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Bước 16

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Bước 17

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Bước 18

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Bước 19

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Bước 20

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Bước 21

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Bước 22

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Bước 23

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Bước 24

Tích phân của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Bước 25

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Bước 25.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Bước 26

Khi giải tìm $\int \sec^{3} (t) d t$ , chúng ta thấy rằng $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Bước 27

Nhân $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Bước 28

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Bước 29

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 29.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Bước 29.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Bước 30

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\sec (\arctan (2 x)) \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Bước 31

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 31.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 31.1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arctan (2 x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, 2 x)$ . Do đó, $\sec (\arctan (2 x))$ là $\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Bước 31.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Bước 31.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Bước 31.1.4

Hàm tang và acrtang là các hàm nghịch đảo.

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} (2 x) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Bước 31.1.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Bước 31.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 31.1.6.1

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Bước 31.1.6.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Bước 31.1.6.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Bước 31.1.6.4

Hàm tang và acrtang là các hàm nghịch đảo.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

Bước 31.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Bước 31.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 31.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Bước 31.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Bước 31.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Bước 31.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Bước 31.4

Kết hợp $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Bước 31.5

Kết hợp $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2}$ và $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Bước 31.6

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Bước 31.7

Để viết $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Bước 31.8

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 31.8.1

Nhân $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Bước 31.8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{4} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Bước 31.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2 + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Bước 31.10

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Bước 32

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

Bước 33

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$