Giải tích Ví dụ

$\int 9 x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

Bước 1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{3} - 1$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{3} - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Bước 3

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $9$ .

$\frac{9}{3} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{1} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$3 \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.3.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} - 1$ .

$2 {(x^{3} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$